** Notation ∑ et opérations

On considère deux suites  \((u_n)\)  et  \((v_n)\) .

Soit \(p\) un nombre entier naturel.
Les sommes des \(p+1\)   premiers termes de chacune des suites sont :
\(u_0+u_1+\cdots +u_p\)  et  \(v_0+v_1+\cdots +v_p\) .

Pour calculer la somme \((u_0+v_0)+(u_1+v_1)+\cdots +(u_p+v_p)\) , par associativité, on a  : \((u_0+v_0)+(u_1+v_1)+\cdots +(u_p+v_p)=(u_0+u_1+\cdots +u_p)+(v_0+v_1+\cdots +v_p)\) Soit  \(\displaystyle \boxed{\sum_{k=0}^{p}(u_k+v_k) = \displaystyle \sum_{k=0}^{p}u_k + \sum_{k=0}^{p}v_k}\) .

Pour calculer la factorisation : \(\displaystyle \sum_{k=0}^{p}(a\times u_k) = au_0+au_1+\cdots +au_p = a(u_0+u_1+\cdots +u_p)=a\displaystyle \sum_{k=0}^{p}u_k\) .
Soit :  \(\displaystyle \boxed{\sum_{k=0}^{p}(a\times u_k) = a\displaystyle \sum_{k=0}^{p}u_k}\) .

Cas particulier : on considère une suite \((u_n)\) constante.
Pour tout entier naturel \(n\) , on a :  \(u_n=a\) (   où \(a\) est un nombre réel).
Alors  \(\displaystyle \sum_{k=0}^{p}u_k = \displaystyle \sum_{k=0}^{p}a = (p+1)\times a\) .

Plus généralement,  \(\displaystyle \boxed{\sum_{k=p}^{n}a = (n-p+1)\times a}\) ,  où  \(n-p+1\) est le nombre de termes de la somme.

Exercice

On considère la suite \((u_n)\)  définie par \(u_0=1\)  et, pour tout entier naturel \(n,\ u_{n+1}=4u_n-9\) .
1. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) , \(u_n=3-2 \times 4^n\) .
2. En déduire, pour tout entier naturel \(n\) , la valeur de  \(S_n=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}u_k\) .